企業管理碩士班筆記

# 第五章 機率分佈

# 隨機變數

定義：係依樣本空間為定義域的實數值函數


# 機率分佈

# 1. 間斷機率分佈

  • 間斷隨機變數 之機率分佈，指將各個不同的 值與其對應之機率值逐一列出的表，有時亦可以公式來取代其詳細的表列
  • 間斷隨機變數 之機率分佈可以函數表示：

  • 其中 必須滿足
    • 對於 中的每一 ，
    • ， 可能值為 ,

# 2. 連續機率分佈

  • 機率密度函數 Probability density function

    • 乃描述一連續隨機變數 之機率分佈，並具有下列之特性
      • 機率密度曲線以下所涵蓋的總面積等於 1
      • 機率密度曲線下，介於 與 之間的面積
      • 對於 之所有可能值的範圍而言
    • 公式

  • 直方圖特性

    • 面積總和為 1
    • 就某些組的邊界點 與 而言，介於 與 之間相對次數為該區間內，直方圖所表示的面積


# 聯合機率分佈

若考慮二維或以上的樣本空間，則可定義出二個或以上的隨機變數

同時考慮二個以上的隨機變數之機變數之機率分佈，此即聯合機率分佈

如同機率分佈一樣，聯合機率分佈(以後簡稱為聯合分佈)亦可分為間斷聯合分佈與連續聯合分佈

# 1. 間斷隨機變數

# 聯合機率分佈

  • 列出間斷隨機變數 與 之所有可能值 與 ，以及其所應對的機率值 之表格或數學式，則為 與 的聯合分佈
  • 當 與 為間斷隨機變數時

# 邊際機率分佈

  • 與 之聯合分佈和其機率分佈關係

# 條件機率分佈

  • 設有 與 兩個隨機變數之聯合分佈，且其邊際機率分佈為 與 。在給定 下， 的條件機率分佈 為：

    同理，在給定 下， 條件分佈為：

# 獨立的隨機變數

  • 設 與 為任意兩個隨機變數，其聯合分佈與邊際機率分佈分別為 , , ，若 的條件分佈等於其邊際機率分佈，即：

    則稱將變數 與 互為獨立。同理，若 的條件分佈等於其邊際機率分佈，即

    則稱隨機變數 與 互為獨立

# 兩獨立隨機變數的性質

  • 設 與 為獨立的兩個隨機變數，則

# 2. 連續隨機變數

# 聯合機率分佈

  • 特性
    • 式中的範圍 , ，分別表示隨機變數 與 之範圍

# 邊際機率分佈

  • 在間斷隨機變數中，已知 或 的機率分佈，且若個別求出 與 單獨之機率分佈 與 ，此時 與 便稱為 與 之邊際機率分佈
  • 與 之聯合分佈和其邊際機率分佈的關係

# 條件機率&分佈獨立性

  • 設有 與 兩個隨機變數之聯合分佈，且其邊際機率分佈分別為 與 ，在給定 下， 的條件機率分佈

    必須滿足

  • 連續隨機變數獨立的性質

    • 設 與 為兩個獨立連續隨機變數，則


# 期望值

  • 間斷隨機變數 的平均數或期望值

    • 式中 乃在 之可能值 的範圍內，而 則為 之機率分佈

  • 間斷隨機變數函數的期望值

    • 令 為間斷隨機變數，其機率分佈為 ，則 X 之函數 g(X) 的期望值為：

  • 連續隨機變數的期望值

    • 設 與 為兩個連續隨機變數，則期望值為：
      • 式中 屬於 的範圍值內， 屬於 的範圍值內，且 為 之機率分佈， 則為 之機率分佈

  • 聯合機率分佈的期望值

    • 令 為間斷隨機變數，其聯合機率分佈為 ，則隨機變數 的期望值定義為：


# 變異數

  • 隨機變數的變異數

    • 令 為一間斷隨機變數，其機率分佈為 ，則 的變異數為：

  • 隨機變數的標準差

  • 與 的聯合分佈 之 與 的變異數

    • 的變異數

      因為
    • 的變異數

      因為

  • 補充

    • 與 聯合分佈
    • 與 邊際分佈 &
    • 與 期望值 &

# 切比雪夫定理

  • Chenyshev 定理適用於任何機率分佈，包括任何型態的間斷分佈與連續分佈
  • 若隨機變數 具有平均數 ，變異數 ，則下式成立：



# 期望值的性質

  • 兩隨機變數和與差的期望值

    • 設 與 為任意兩個隨機變數，其聯合分佈為 ，則 與 之和及差的期望值為：

  • 兩隨機變數乘積的期望值

    • 設兩個隨機變數 與 互為獨立，則：


# 變異數的性質

  • 兩隨機變數和與差的變異數性值

    • 設 與 為任意兩個隨機變數，且互為獨立，則：

  • 兩個以上隨機變數和的變異數性質

    • 設 , , ... 為任意 個隨機變數 ，則

    • 另外，若 皆互相獨立，則

# 共變數

  • 一個共變異數用於衡量兩個變量的總體誤差，通常以 表示有以下觀念

    • 變異數是共變異數的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況
    • 如果兩個變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個大於自身的期望值，另外一個也大於自身的期望值，那麼兩個變量之間的共變異數就是正值。如果兩個變量的變化趨勢相反，那麼兩個變量之間的共變異數就是負值
    • 如果 與 是統計獨立的，那麼二者之間的共變異數就是0，這是因為 ，但是反過來並不成立，即如果 與 的共變異數為 0，二者並不一定是統計獨立的。僅表明 與 兩隨機變量之間沒有線性相關性

  • 公式


# 補充

  • PDF：機率密度函數（probability density function）

    • 連續行型隨機變數的機率密度函數（簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值点附近的可能性的函數。

  • PMF：機率質量函數（probability mass function)

    • 是離散隨機變數在各特定取值上的機率

  • CDF：累積分佈函數 (cumulative distribution function)

    • 又叫分佈函数，是機率密度函數的積分，能完整描述隨機變數 的機率分佈

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