# 第六章 常用的機率分佈

# 表格整理

	表示法	公式	期望值	變異數
二項分佈
白努力
超幾何
幾何
Poisson
負二項

# 分佈區分

• 離散分佈
  • 二項分佈
  • 超幾何分佈
  • 幾何分佈
  • 伯努利分佈
  • 均勻分佈
  • Poisson分佈
• 連續分佈
  • 均勻分佈
  • 指數分佈
  • 伽馬分佈
  • Poisson分佈

# 二項分佈特性

• 重複進行 次完全相同的試驗
• 每一次試驗皆僅有兩種可能結果，其一稱為「成功」，另一則稱為「失敗」
• 每一次試驗中，出現成功的結果之機率固定為 ，出現失敗之結果的機率固定為
• 每一次試驗之間接互相獨立

# 伯努利分佈

• 1 次試驗成功次數

• 表示

• 公式

• 期望值

• 變異數

# 二項分佈(抽出放回)

• : n 次試驗成功次數

• 表示

• 公式

  次中有 次成功，取每次成功的排列

• 期望值

• 變異數

# 超幾何分佈(抽出不放回)

• 特性
  • 從一含有 物的有限母體中，採不放回抽樣抽出大小為 的隨機樣本
  • 物中有 個屬成功類，另 個屬失敗類
• 公式
  • 式中的符號 , , , 皆同於前文所述，另外 的範圍是從 至

• 期望值：令 代表超幾何隨機變數

• 變異數：令 代表超幾何隨機變數

• 與兩項分佈的關係

  • (空)

# 幾何分佈

做到成功為止

• 特性

  • 乃是貝努利試驗中所發生的另一種間斷型機率分佈
  • 在進行一項隨機試驗時，若未預先固定試驗的次數，但規定在第一次成功的試驗發生之後才停止整個貝努利試驗過程，成功的次數固定為 1

• 表示

• 公式

  • 令 表示第一次成功發生所需的貝努利試驗次數，且 表示成功機率，且 ，則 的機率分佈為

• 期望值

  • 令 代表幾何分佈的隨機變數

• 變異數

  • 令 代表幾何分佈的隨機變數

# Poisson分佈

一個頻率的概念

• 特性

  • 在一特定區間內，觀察某特定事件發生的次數，令其為隨機變數 ，此項觀察過程稱為 Poisson 實驗

• Poisson 實驗特性

  • 在特定區間內，某事件發生的平均數 皆相同且為已知
  • 在一極短的區間內，某事件發生一次的機率在各極短區間內皆相同且與區間的長短（或大小）成比例，但與此區間或區間外所發生的次數無關
  • 在一極短的區間，僅有兩種情況，即發生一次或不發生，而發生兩次或以上的情形不與考慮。此為在某一極短的區間內某事件是否發生，並不影響下一個極短區間內事件發生的行為。
  • 兩個相隔極短的區間內事件的發生乃為互相獨立

• 表示

• 公式

  • 式中 表示在某特定區間內某事件所發生的平均次數，而

• 期望值

  • 令 為 Poisson 隨機變數，則

• 變異數

  • 令 為 Poisson 隨機變數，則

• 與二項分佈的關係

# 負二項分佈

r 次成功即停止所需次數 說明：乃是貝努利試驗中，除了幾何分佈之外的另一種間斷型機率分佈。 一般而言，在執行獨立的貝努利試驗，並無預先固定試驗的次數，直到第 次「成功」發生時才停止整個貝努利隨機試驗，成功的次數固定為 ，且所需試驗的次數為一隨機變數，則此隨機變數的機率分佈即稱為負二項分佈

• 表示

• 公式

• 期望值

• 變異數